O Yahoo Respostas será encerrado em 4 de maio de 2021 (horário do leste) e, a partir de 20 de abril de 2021 (horário do leste), estará disponível somente para leitura. Não haverá alterações em outras propriedades ou serviços ou em sua conta do Yahoo. Você pode encontrar mais informações sobre o encerramento do Yahoo Respostas e como fazer para baixar seus dados nesta página de ajuda .
========= IME(12) =============?
Uma pirâmide reta possui como base um DODECÁGONO de arestas a.
As faces laterais formam um ângulo de 15° com o plano da base.
Determine o volume desta pirâmide em função de a.
A)a³√(√3+2)/2√(2-√3)
B)a³√(√3-2)/2√(2-√3)
C)a³√(√3-2)/√(2-√3)
D)a³√(√3-2)/√(2+√3)
E)a³√(2-√3)/√(√3-2)
√3-2 < 0 , isso elimina as opções B, C, D e E
Sobrou Opção A
A prova foi foi multipla escolha?
2 Respostas
- ♥ ŠÜZÎ ♥Lv 7Há 8 anosResposta favorita
www.elitecampinas.com.br/.../Elite_Resolve_ime_2012_Testes.pdf
DIFICIL COLOCAR AQUI PORQUE AS FIGURAS SÃO IMPORTANTES PARA O BOM ENTENDIMENTO. MAS TODOS OS EXERCICIOS ESTÃO RESOLVIDO NESTE LINK
PROCURE LÁ A SOLUÇÃO. INCLUSIVE DO OUTRO EXERCICIO QUE FOI CANCELADO
- ?Lv 7Há 8 anos
Hehe essa questão ja é mais complicada...
Vou pular umas contas demoradas ok? só pra vc entender a essencia...
Divide o dodecagono em 12 triangulos, sendo que todos eles tem um vertice no centro...
Como uma volta tem 360º.... então o angulo central de cada triangulo terá 360/12 = 30º
Escolhe um dos doze triangulos e traça sua altura. (altura relativa à base do triangulo). Chame a altura de x, por exemplo.
Como o triangulo é isosceles, então o angulo central de 30º ficou dividido em dois de 15º depois que traçei a altura...E depois que eu traçei a altura a base também ficou cortada em 2... ficou duas vezes a/2
Fazendo a tangente desse 15º nesse triangulo:
tg15º = (a/2) / x
E logo x = a / (2tg15º)
E a area desse triangulinho é dada por base vezes altura sobre 2.
A = b . h / 2
A = a . a / (2tg15º) . 1/2
A = a² / (4tg15º)
E a area do dodecagono inteiro é dada por 12 vezes isso:
Ad = 12a² / (4tg15º)
Ad = 3a² / (tg15º)
Agora precisamos da altura da piramide em função de "a".
Da uma olhada nesse triangulo retangulo: Um dos catetos é o x que eu chamei, o outro cateto é H (altura da piramide).... O ângulo oposto à H mede 15º (afirmação dada no enunciado)
Trigonometria novamente:
tg15º = H / x
H = x.tg15º
Só que x = a / (2tg15º), como descobrimos no começo.
Então, substituindo isso:
H = [a / (2tg15º)] * tg15º
H = a/2
Agora vamos para o volume da piramide
V = Ab.H / 3
V = [3a² / (tg15º)]*(a/2)*(1/3)
V = a³ / (2tg15º)
Para chegar no gabarito agora basta a gente calcular a tangente de 15º.
Utilizando a fórmula da subtração para tangentes:
Tg(x-y) = [tgx - tgy] / [1+tgx.tgy]
Subtraindo 30º de 45º:
tg(45º-30º) = [tg45º - tg30º] / [1+tg45º.tg30º]
tg(15º) = [tg45º - tg30º] / [1+tg45º.tg30º]
Assumindo que a tangente de 45 é 1 e que a tangente de 30 é â3/3... vc chega em:
tg(15º) = (3-â3) / (3+â3)
Voltando agora no volume da pirâmide:
V = a³ / (2tg15º)
Trocando esse valor de tangente nessa formula e fazendo a devida racionalização, vc encontra:
V = a³.(2+â3) / 2
Pode não parecer, mas é a mesma resposta do item A....
Se vc racionalizar a expressão do item A, vc vai chegar na expressão que cheguei.
Sinceramente não sei porque o IME não forneceu as respostar racionalizadas....
A expressão a³.(2+â3) / 2 é bem mais bonita do que a que ta na alternativa =)
=> Resposta: Alternativa A
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
à verdade... eu nao tinha visto que â3 - 2 < 0....
Isso anula os intens B e D....
( O item C vc copiou errado... na prova está diferente...)
Essa questão é parte da prova de multipla escolha do IME
O IME sempre faz 15 questões de multipla escolhe e 10 abertas (isso de matematica)
' Laplace
