======= ita(03) ========================?

Fatoração completa do 17640:

17640 = 2³.3².5.7²

Variando os expoentes de cada uma dessas 4 bases vc vai encontrando todos os divisores de 17640....O expoente da base 2 por exemplo pode ir de 0 até 3....Ja o expoente da base 5 pode ir de 0 até 1.... e o da base 7 pode ir de 0 até 2.......

Para que um divisor de 17640 seja multiplo de 3... ele precisa conter o fator 3 certo?

Então temos 2 casos: ele pode ter 3¹ ou 3²... nos dois casos temos o fator 3 no numero e garantimos que ele é multiplo de 3.

Então olha só:

=> Possibilidades de expoentes para o 2: {0,1,2,3} => 4 expoentes distintos

=> Possibilidades de expoentes para o 3: {1,2} => 2 expoentes distintos

=> Possibilidades de expoentes para o 5: {0,1} => 2 expoentes distintos

=> Possibilidades de expoentes para o 7: {0,1,2} => 3 expoentes distintos

Veja que para o 3 foi a unica restrição que eu tive. A unica restrição é que não posso colocar expoente zero no 3, pois não viraria um multiplo de 3.

Então a resposta da questão será dada por conceitos de combinatória: multiplicamos as possibilidades de expoente de cada base....A base 2 tem 4 possibilidades de expoentes... e assim vai:

Total = 4 * 2 * 2 * 3

Total = 48

Alternativa C

É uma questão que envolve divisores de um numero junto com uma mistura de combinatória =)

Abraço,

' Pierre de Laplace