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======= ita(1994) --------?
(ITA-94) A identidade: (x³+4)/(x³+1) = 1 +a/(x+1) + (bx+c)/(x²-x+1) é válida para todo real x ≠ -1.
Então a + b + c é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
1 Resposta
- AnônimoHá 8 anosResposta favorita
simples: x³ + 4 = (x³ + 1) + 3 [ afinal 4 = 1+3]
então (x³+4)/(x³+1) = {(x³ + 1) + 3}/(x³ + 1) = 1 + 3/(x³+1)
agora usando a identidade (a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²) temos que
(x³ + 1) = (x+1)(x² - x + 1)
(x³+4)/(x³+1) = 1 + 3/{(x+1)(x² - x + 1)}
3 = x² - x + 1 + 2 + x - x²
(x³+4)/(x³+1) = 1 + (x² - x + 1 + 2 + x -x²)/{(x+1)(x² - x + 1)} =
= 1 + 1/(x+1) + (2 + x - x²)/{(x+1)(x² - x +1)}
mas repare que 2 + x - x² = 1 + x + 1 - x² = (1 + x) + (1+x)(1-x) = (1+x)(1 + 1 - x) = (1+x)(2-x)
logo (2+x -x²)/(x+1) = (2-x) e então
(x³+4)/(x³+1) = 1 + 1/(x+1) + (2 - x)/(x² - x +1)
a = 1, b = -1, c = 2
a+b+c = 2
outro jeito de resolver é fazendo direto a soma das frações, talvez ele fosse mais seguro:
a/(x+1) + (bx+c)/(x² - x + 1). Para igualar os denominadores basta fazer:
a*(x² - x + 1)/{(x+1)(x²-x+1)} + (bx+c)*(x+1)/{(x+1)(x² -x +1)}
------^ multipliquei------^dividi
assim os denominadores estão iguais e podemos somar
a(x² - x + 1) + (bx+c)(x+1) = ax² - ax + a + bx² + bx + cx + c.
Em baixo o denominador ficou (x³ +1) [basta você multiplicar as expressões]
essa expressão grande tem que ser igual a 3
logo:
a + b = 0
b + c - a = 0
a + c = 3 ---> a =1, c=2, b=-1