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======= ita(1992) ================?
(ITA-92) Num triângulo ABC, retângulo em A temos B = 60° .
As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D.
Se o segmento de reta BD mede 1 cm, então a hipotenusa mede:
a) (1 + √ 3)/2 cm
b) 1+ √ 3 cm
c) 2 + √ 3 cm
d) 1 + 2√ 2 cm
e) n.d.a.
2 Respostas
- Louis XVLv 7Há 8 anosResposta favorita
seja r o raio da circunferência inscrita no triangulo ABC
e E o ponto de tangencia sobre o lado AB
temos
sen(30º) = ED/BD = r/1 --> r = 1/2
cos(30º) = BE/BD = y/1 --> y = √3/2
como A = 90º --> A/2 = 45º --> tg(45º) = ED/AE = 1
AE = ED = 1/2
AB = AE + EB = 1/2 + √3/2
sen(30º) = AB/BC = 1/2
hipotenusa BC = 2AB = 2*(1 + √3)/2 = 1 + √3 cm (B)
pronto
- ?Lv 6Há 8 anos
angulo D = 180 - ( 60/2 + 90/2) = 105
lei dos senos no triangulo ABD
AB / sen 105 = BD / sen 45 onde BD = 1
AB = [ sen 105 (*) ] / [sen 45] = [ â (2 + â 3) / 2 ] / [ â 2/2 ] = â (2 + â 3) / â 2 (a)
cos 60 = AB / hipotenusa = 1 / 2
hipotenusa = [AB] 2 substituindo (a) temos
hipotenusa = [ â (2 + â 3) / â 2 ] 2 = â (4 + 2â 3) (**) = â [ (1 + â 3)^2 ]= 1 + â 3
resposta b
(*) sen 105 = sen ( 90 + 15) = sen90 cos15 + sen15 cos90 = 1 cos15 + sen 15 * 0 = cos 15
cos 15 = cos (30/2) como cos (X/2) = â [ (1 + cosX ) /2 ]
cos 15 = â [ (1 + cos30 ) /2 ] = â [ (1 + â3/2 ) /2 ] = â [ (2 + â3) / 4 ] = â (2 + â 3) / 2
sen 105 = â (2 + â 3) / 2
(**) (4 + 2â 3) = ( 1 + 3 + 2â 3) = [ 1^2 + 2*1*â 3 + (â 3) ^2 ] (***) = ( 1 + â 3) ^2
(***) a^2 + 2ab + b^2 = (a+b) ^ 2
