100º e última pergunta minha no YR: escreva a equação de 4º grau em que duas de suas raízes são: 1+i e 2+i?

Muito simples, sabemos que as raízes são: 1 + i, 2 + i. Existe um teorema que nos garante que, se r é complexo e r é raiz de uma equação então seu conjugado complexo r* também é raiz.

r1 = 1 + i

r1* = 1 - i

r2 = 2 + i

r2* = 2 - i

Essas são as quatro raízes.

Todo polinômio pode ser decomposto como um produto de suas raízes:

P4(x) = (x - r1).(x - r2).(x - r3).(x - r4)

P4(x) = [x - (1 + i)].[x - (1 - i)].[x - (2 + i)].[x - (2 - i)]

Vou distribuir os produtos em pares, [x - (1 + i)].[x - (1 - i)] e [x - (2 + i)].[x - (2 - i)].

P4(x) = [x² - x(1 - i) -x(1 + i) + (1 + i).(1 - i)][x² - x(2 - i) -x(2 + i) + (2 + i).(2 - i)]

P4(x) = [x² - x + i.x - x - i.x + 1² - i²].[x² - 2x + i.x - 2x - i.x + 2² - i²]

P4(x) = [x² - 2x + 2].[x² - 4x + 5]

P4(x) = (x^4 - 4x³ + 5x² - 2x³ + 8x² - 10x + 2x² - 8x + 10)

P4(x) = (x^4 - 6x³ + 15x² - 18x + 10)

x^4 - 6x³ + 15x² - 18x + 10 = 0

É a equação procurada, se eu não errei alguma conta...

Questão 99º é a mesma coisa, basta usar como r1 = V2, r2 = -V2, r3=V3 e r4 = -V3 e usar a mesma fórmula:

P4(x) = (x - r1).(x - r2).(x - r3).(x - r4)