(k³-2)x² -(k²-2)x +4k=0 para ter raízes simétricas e ponto de máximo, então k vale?

Uma hora já se passaram,

Mas vamos lá...

Para que as raízes sejam simétricas o descrimante tem ser nulo...

0 = (k²-2)² - 4.(k³-2).4k

0 = k^4- 4k² + 4 - 16k(k³-2)

0 = k^4 - 4k² + 4 -16k^4 + 32k

15k^4 + 4k² - 36k + 4 = 0

Agora desenvolve isso ai, que me deu preguiça...

Raízes simétricas, a soma entre elas tem que dar zero ⇒

S = -b / a

0 = -(k² - 2) / (k³ - 2)

-k² + 2 = 0

-k² = -2 *(-1)

k² = 2

k = ± √2

Ponto de máximo, a < 0 ⇒

k³ - 2 < 0

k³ < 2

k < ³√2

k < 1,26

Como k precisa ser menor que 1,26.

k = -√2

Testado ⇒ http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-%E2%88...

Para ter raiz simetrica, então existe a>0 tal que a e -a são raízes da equação. Assim,

(k³-2)a² -(k²-2)a +4k = 0 = (k³-2)(-a)² -(k²-2)(-a) +4k

(k³-2)a² -(k²-2)a +4k = 0 = (k³-2)a² +(k²-2)a +4k

-(k²-2)a = 0 = (k²-2)a

2(k²-2)a=0

(k²-2)a=0

Como a é diferente de zero, então

(k²-2)=0, logo k é mais ou menos raiz de 2.

-Se k é igual a raiz de 2, então (k³-2)>0, assim a parabola tem concavidade voltada pra cima e tem ponto de mínimo.

-Se k é igual a menos raiz de 2, então (k³-2)<0, assim a parabola tem concavidade voltada pra baixo e tem ponto de máximo.

Então k é menos raiz de 2.