Qual a solução real da equação (x-1)³ = 2?

Têm duas formas principais de encontrar x.

(x - 1) ³ = 2

1º método,

Substitua (x - 1) ³ por y,

y ³ = 2

y = ³√2 {um número real só possui uma raiz cúbica real}

Como, y = x - 1,

x - 1 = ³√2

x = 1 + ³√2

2º método,

(x - 1) ³ = 2

(x - 1) ³ - 2 = 0

Transforme - 2 num cubo perfeito,

(x - 1) ³ - (³√2) ³ = 0

Use o produto notável diferença de cubos. Este aqui,

a ³ - b ³ = (a - b)(a ² + ab + b ²) onde,

a = x - 1 e b = ³√2

Aplicando o produto notável,

(x - 1 - ³√2).[(x - 1) ² + (x - 1).³√2 + (³√2) ²] = 0

(x - 1 - ³√2).[(x - 1) ² + (x - 1).³√2 + ³√4)] = 0

Produto de dois fatores igualados a zero é só igualar cada fator a zero.

1ª solução,

x - 1 - ³√2 = 0

x = 1 + ³√2

2ª solução,

(x - 1) ² + (x - 1).³√2 + ³√4 = 0

Essa é uma equação do 2º grau em x. Você poderia desenvolver e verificaria que o Δ será negativo. Como essa resolução é um pouco trabalhosa vou substituir x - 1 por y.

y ² + (³√2)y + ³√4 = 0 {Equação do 2º grau em y}

Δ = b ² - 4ac = (³√2) ² - 4(1)(³√4)

Δ = ³√4 - 4. ³√4 = - 3. ³√4 < 0

Como y não é real então,

x - 1 = y => x = 1 + y também não é real

Olhei para essa equação e pensei que não é do meu nível de ensino.